Умножение и деление натуральных чисел

Умножение натуральных чисел

и его свойства.


Предположим нам надо прикрутить к машине 4 колеса. Каждое колесо
крепиться пятью гайками. Значит, нам надо взять 5 + 5 + 5 + 5 = 20 гаек.
Если все слагаемые равны друг другу, то такую сумму записывают так:

вместо 5 + 5 + 5 + 5 пишут 5 • 4 . Значит, 5 • 4 = 20.

Такое математическое действие называется умножением.

Число 20 называют произведением чисел 5 и 4 , а числа 5 и 4
называют множителями.

Умножение числа m на натуральное число n — это сумма
n слагаемых, каждое из которых равно m .
Выражение вида m • n , а также значение этого выражения называют
произведением чисел m и n . Числа m и n называют множителями.
Произведения 3 • 4 и 4 • 3 равны одному и тому же числу 12 .

3 • 4 = 4 • 3 = 12 .

3 и 4 — множители, а 12 — произведение.
При перестановке множителей значение произведения не меняется.
Это переместительное свойство умножения. Если его записать буквами, то
оно выглядит так:

m • n = n • m .
Сочетательное свойство умножения, a • (b • с) = (а • b) • c .

В произведении трех и более множителей при их перестановке или
изменения порядка выполнения умножения результат не меняется.

Пример:

(6 • 2) • 3 = 12 • 3 = 36 или 6 • (2 • 3) = 6 • 6 = 36 .
Произведение любого натурального числа и единицы, равно
самому этому числу.

n • 1 = n .

Произведение любого натурального числа и нуля, равно нуль.

n • 0 = 0 .
Произведения с буквенными множителями записывают так:

вместо 8 • x пишут 8x , вместо a • b пишут ab .

Также опускают знак умножения и перед скобками,

вместо 2 • (a + b) пишут 2(а + b) ,

вместо (x + 2) • (y + 3) пишут (x + 2)(y + 3) ,

вместо a • (b • c) пишут abc .

Деление натуральных чисел и его свойства.


Из 36 роз составили 12 букетов. Из скольких цветков состоит
каждый букет?

Пусть каждый букет состоит из x роз. Значит x • 12 = 36 .
Мы можем подобрать число, которое при умножении на 12 даст 36 ,
это число 3 .

Получается что, зная произведение ( 36 ) и один множитель ( 12 )
можно найти второй множитель ( 3 ).

Действие, с помощью которого, по произведению и одному из
множителей находят второй, называют делением.

Записывают это так: 36 : 12 = 3 .

Число, которое делят, называется делимым,

число, на которое делят, называют делителем,

а результат деления частным.

Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.
Выражение вида: а : 0 — не имеет смысла.

Делить на нуль нельзя.
Исходя из записи а • 1 = а можно вывести что,

а : 1 = а и а : а = 1 .

В результате деления любого числа на 1 получается это же число.

Результатом деления двух одинаковых чисел будет единица.

Зная, что y • 0 = 0 можно понять что, 0 : y = 0 .

При делении нуля на любое число частным будет нуль.

Деление с остатком.


Не всегда одно натуральное число делится нацело на другое
натуральное число.

Например: У нас есть 85 конфет. Как нам разделить их на семь человек?

В данном случае:
деление с остатком
85 — делимое.

7 — делитель.

12 — неполное частное.

1 — остаток.



Каждому достанется по двенадцать штук и одна конфета останется.

деление с остатком
Остаток обязательно должен быть

меньше делителя. Если в остатке

нуль, то делимое делится на делитель

нацело (без остатка).
Если нам надо найти делимое, зная делитель, неполное частное
и остаток. Надо перемножить делитель и неполное частное и
прибавить остаток.

Если делитель = 7 , неполное частное = 12 , а остаток = 1 ,

то делимое = 7 • 12 + 1 = 85 .

Упрощение выражений.





Рассмотрим два выражения:

( 2 + 4 ) • 3 и 2 • 3 + 4 • 3

Оба выражения равны 18 :

( 2 + 4 ) • 3 = 6 • 3 = 18 ; 2 • 3 + 4 • 3 = 6 + 12 = 18 .

Получается, что:

( 2 + 4 ) • 3 = 2 • 3 + 4 • 3 .

Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это
число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.
Это правило называется распределительным свойством умножения
относительно сложения.

С помощью букв его записывают так:

( a + b ) • c = a • c + b • c .
Также это правило применимо к разности, умноженной на число:

( a – b ) • c = a • c – b • c ,

и называется оно распределительным свойством умножения
относительно вычитания.

Например:

( 5 – 3 ) • 7 = 5 • 7 – 3 • 7
Используя распределительное свойство умножения можно упрощать
буквенные выражения. Например:

3a + 5a = 3 • a + 5 • a = ( 3 + 5 ) • a = 8a ;

4b + b = 4 • b + 1 • b = ( 4 + 1 ) • b = 5b ;

9c – 5c = 9 • c – 5 • c = ( 9 – 5 ) • c = 4c .

Также для упрощения выражений можно применять
сочетательное свойство умножения:

3х • 4 • 5 = ( 3 • 4 • 5 ) • х = 60х .

Порядок выполнения действий.


Для удобства принятия решения о последовательности выполнения
действий их разделили на две ступени:

первая ступень — сложение и вычитание,

вторая ступень — умножение и деление.

При нахождении значения выражения действия выполняются
в следующем порядке:

1. В выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия
только одной ступени, то тогда все операции выполняются по порядку
слева на право.

2. Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия
двух ступеней. Тогда в первую очередь выполняются действия второй
ступени, а во вторую действия первой ступени.
Правило слева направо при выполнении действий одинаковой
ступени выполняется.

3. Если выражение содержит скобки, то действия в скобках
выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются
в соответствии с правилами 1. и 2.

Пример 1. Найдем значение выражения:

22 + 78 – 56 – 24 .

Определим порядок выполнения действий. В выражении отсутствуют
скобки и все действия первой ступени, значит, будем решать выражение
слева на право.


22 + 78 = 100 ; 100 – 56 = 44 ; 44 – 24 = 20 ;


22 + 78 – 56 – 24 = 20 .

Пример 2. Вычислим:

72 : 8 • 33 : 11 • 2 =

Так как в выражении отсутствуют скобки и присутствуют действия
только второй ступени, то последовательность выполнения действий
будет слева на право.

72 : 8 = 9; 9 • 33 = 297; 297 : 11 = 27; 27 • 2 = 54.


72 : 8 • 33 : 11 • 2 = 54 .

Пример 3.

25 – 8 • 3 : 2 + 4 • 4 = ?

Последовательность решения определяет наличие действий двух
ступеней. Сначала выполним действия второй ступени
(умножение и деление) в порядке слева на право:

8 • 3 = 24 ; 24 : 2 = 12 => 8 • 3 : 2 = 12 .

4 • 4 = 16 .

А затем слева на право действия первой ступени:

25 – 12 = 13 ; 13 + 16 = 29 .


25 – 8 • 3 : 2 + 4 • 4 = 29 .


Пример 4.

99 : ( 45 – 39 + 5 ) – 25 : 5 = ?

Порядок вычисления такой. Сначала выполним действия в скобках:

45 – 39 = 6 ; 6 + 5 = 11 ,


затем действия второй ступени

99 : 11 = 9 ; 25 : 5 = 5 ,

затем действия первой ступени

9 – 5 = 4 .

99 : ( 45 – 39 + 5 ) – 25 : 5 = 4 .

Степень числа. Квадрат и куб числа

Мы уже знаем что, для выражений вида 5 + 5 + 5 + 5 существует
более короткая запись 5 • 4 .

Аналогично сумме с одинаковыми слагаемыми, для произведения
с одинаковыми множителями существует короткая запись.

Например:

2 • 2 • 2 • 2 = 24 .

Запись 24 читается так, два в четвертой степени,
и обозначает произведение четырех множителей, каждый из которых
равен двум.

2 называется основанием степени и показывает, чему равны
множители в произведении.

4 — показатель степени, показывает, сколько множителей
в произведении.
Примеры:

4 • 4 • 4 = 43 = 64 ;

7 • 7 • 7 • 7 = 74 = 2401 ;

2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 = 32 .
Число во второй степени a2 = a • a называют число в квадрате (в данном случае a в квадрате).
Число в третьей степени x3 = x • x • x называют число в кубе
(в данном случае x в кубе).
Степени чисел входящие в числовые выражения выполняются
в первую очередь.
23 + 42 = 8 + 16 = 24 ;

22 • 32 = 4 • 9 = 36 .

Знак степени стоящий сразу за скобками предполагает произвести
вычисления в скобках, а затем полученный результат возвести в степень.
(2+4)2 = 62 = 36 .

Проверь себя!!!                                                              Контроль знаний

1. Как называется результат деления?
а) произведение;
б) частное;
в) сумма;
г) разность.
2. Вставьте пропущенное слово: «Чтобы найти . . . , надо произведение разделить на известный множитель»
а) делимое;
б) делитель;
в) множитель;
г) вычитаемое.
3. Выберите сочетательное свойство умножения .
а) a • b = b • a;
б) (a+ b) • c = ac + bc ;
в) a•(b•c) = (a•b) • c;
г) c•(a – b) = c•a – c • b
4.Чему равно произведение n • 0?
а) 1;
б) 0;
в) умножение невозможно;
г) n.
5. Чему равно частное а: 0?
а) а ;
б) 0;
в) деление невозможно;
г) 1.
6. Запишите в виде произведения а+а+а+а+а+а+а.
а) 6а;
б) 7 + а;
в) 7а;
г) а • 5.
7. Вычислить 125 • 8 – 480 000 : 1000.
а) 1520;
б) 952;
в) 520;
г) 640.
8. Вычислите удобным способом 8 • 444 • 25.
а) 888;
б) 8800;
в) 880;
г) 88 800.
9. Упростить: 20 а • 25 • b.
а) 50 а b;
б) 500 а b;
в) 500 а;
г) 500 b.
10. Вычислите: 8568 : 17.
а) 5004;
б) 540;
в) 54;
г)504.
11. Найдите значение неизвестного
99 : b = 8 (ост. 3)
а) 9;
б)12;
в) 25;
г) 23.
12. Догадайся и используй удобный способ при
вычислении: 672 : ( 336 : 42)
а) 21;
б) 84;
в) 48;
г) 804.

Чтобы просматривать и оставлять комментарии к этой странице, необходимо подключение к сети Интернет.
Используются технологии uCoz