Делимость чисел

Делители и кратные.



         Делителем натурального числа n называют число, 
        на которое n делится без остатка. 

      Например:   

          делителем числа   9   является число   3 ,             9 : 3 = 3 ; 

          делителем числа   9   не является число   4 ,       9 : 4 = 2,25


        Oдин (1) — это делитель любого натурального числа: 

                  2 : 1 = 2 ;         4 : 1 = 4 ;       11 : 1 = 11     и. т. д.   


         Если число b делитель числа a , то a называют кратным числу b .   

                                                      a : b = n . 

      Например:   

                                      12 : 6 = 2 ; 

                            двенадцать кратно шести     или 
                            двенадцать   —   кратное числа шесть.    


      Наименьшим кратным натурального числа является само это число.   

      Например:     семь кратно семи, девять кратно девяти.   

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2.



         Натуральное число делится на 10 без остатка только в том случае, 
если оно оканчивается на нуль. Если последняя цифра натурального числа 
не 0, то число на 10 без остатка не делится. 

    Числа 10, 20, 30 … , 220, 1200, 1210 … и т. д. делятся на 10 без остатка. 

Например: 

                    20 : 10 = 2;           220 : 10 = 22;         2330 : 10 = 233;   


         Натуральное число делится на 5 без остатка в том случае, 
если оно оканчивается на 0 или на 5.   

        Числа 5, 10, 15, 20 … , 220, 225, … и т. д. делятся на 5 без остатка. 

Например: 

                  20 : 5 = 4;           225 : 5 = 45;         2335 : 5 = 467 . 

        Если последняя цифра натурального числа не 0 и не 5, 
то число на 5 без остатка не делится. 

Например:  

 23 : 5 = 4,6          

221 : 5 = 44,2

2334 : 5 = 466,8   


         Если последняя цифра в записи натурального числа четная 
(2, 4, 6, 8) или 0 , то это число делится на 2 без остатка.   

        Числа   2, 4, 6, 8, 10 … , 220, 222, 224, 226, 228, … , 1200, 1202, 1204, 
1206, 1208, 1210, 1212, 1214 … и т. д. делятся на 2 без остатка. 

Например: 

                  20 : 2 = 10;           224 : 2 = 112;         2336 : 2 = 1168 . 

        Если последняя цифра натурального числа нечетная 
(1, 3, 5, 7, 9), то число на 2 без остатка не делится. 

Например: 

            23 : 2 = 11,5

           221 : 2 = 110,5

         2337 : 2 = 1168,5

Признаки делимости на 9 и на 3.


 Натуральное число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр кратна трем.  


          Число 762 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр: 
          7 + 6 + 2 = 15 — кратна 3       ( 15 : 3=5 ).   


          Число 4587 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр: 
          4 + 5 + 8 + 7 = 24 — кратна 3         ( 24 : 3=8 ).   


          Число 3572 не кратно 3, так как сумма его цифр: 
          3 + 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 3 без остатка   ( 17 : 3=5,6666...)


         Признак делимости на 9 такой же, как и на 3. Натуральное число 
          делится на 9 без остатка, если сумма его цифр кратна девяти. 

          Число 765 делится на 9 без остатка, так как сумма его цифр: 
          7 + 6 + 5 = 18 — кратна 9       ( 18 : 9=2 ).   


          Число 4698 кратно 9, так как сумма его цифр: 
          4 + 6 + 9 + 8 = 27 — делится на 9 без остатка         ( 27 : 9=3 ).   


          Число 3572 не кратно 9, так как сумма его цифр: 
          3 + 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 9 без остатка   ( 17 : 9=1,8888....)

Простые и составные числа.


         Натуральное число называют простым, если оно имеет 
только два делителя: единицу и само это число. 

        Например: 

                              3   делится без остатка на 1 и на 3; 

                              5   делится без остатка на 1 и на 5; 

                              7   делится без остатка на 1 и на 7; 

                            11   делится без остатка на 1 и на 11;   и т. д.   


         Натуральное число называют составным, если оно имеет 
более двух делителей.   

        Например: 

                    4   делится без остатка на 1, на 2 и на 4; 

                    6   делится без остатка на 1, на 2, на 3 и на 6; 

                    8   делится без остатка на 1, на 2, на 4 и на 8; 

                    9   делится без остатка на 1, на 3 и на 9;   и т. д. 

         Число 1 имеет только один делитель: само это число (1) . 
Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.   


         Любое составное число можно разложить на два множителя, 
каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на 
множители нельзя.   


      Примеры разложения соcтавных чисел на множители: 

      4=2•2 ;             6=2•3 ;             8=2•2•2 ;             9=3•3 ; 

      15=3•5 ;           27=3•3•3 ;           44=2•2•11 ;         и т. д.   



Таблица простых чисел

2 3 5 7

11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199

211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293

307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397

401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499

503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599

601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691

701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797

809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887

907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097

1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193

1201 ... и т.д.

  

Разложение на простые множители.


Всякое составное число можно разложить на простые множители. 
При любом способе получается одно и то же разложение, 
если не учитывать порядка записи множителей.   

        Последовательность действий при разложении на простые множители: 

          1. Проверяем, не является ли предложенное число простым. 

          2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, 
              из простых чисел начиная с наименьшего   (2, 3, 5 …). 

          3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется 
              простым числом. 

         Разложим на простые множители число 27 :  

                27 не является простым.  

                27 на 2 не делится. 

                27 делится на 3, получаем   27 : 3 = 9 .  

                9 на 2 не делится.  

                9 делится на 3,       9 : 3 = 3.  

                3 простое число.

                  Результат:   27 = 3 • 3 • 3.   



          Разложим на простые множители число 378 :  

                 378 не является простым.  

                378 делится на 2,
                так как оканчивается на четное число ( 8 ).
                378 : 2 = 189 .

                189 делится на 3,
                потому что сумма его цифр делится на 3,
                получаем   189 : 3 = 63 . 

                63 так же делится на 3, получаем   63 : 3 = 21 . 

                21 так же делится на 3, получаем   21 : 3 = 7 . 

                7 простое число. 




          Разложим на простые множители число 2310 :  

                 2310 не является простым. 

                2310 делится на 2,
                так как оканчивается на число 0.
                2310 : 2 = 1155 .

                1155 делится на 3,
                потому что сумма его цифр делится на 3,
                получаем   1155 : 3 = 385 . 

                385 делится на 5, получаем   385 : 5 = 77 . 

                77 делится на 7, получаем   77 : 7 = 11 .  

                11 простое число. 

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа


          Наибольший общий делитель (НОД) двух и более чисел — это 
самое большее натуральное число, на которое эти числа делятся 
без остатка. 

  Например: 

            у чисел 12 и 8 наибольший общий делитель (НОД) равен 4, 

            а у чисел 20 и 35   (НОД) равен 5 

         Если у нескольких чисел нет общих делителей кроме единицы, то эти 
числа называются взаимно простыми. 

        Например:   

                  у чисел     5 и 8 ,     11 и 18 ,     16 и 27     (НОД) равен   1 . 


         Для нахождения наибольшего общего делителя двух или более чисел, 
например 36 и 24 , надо: 

1)     разложить их на простые множители;      предыдущая тема  

                    36 = 2 • 2 • 3 • 3 ;       24 = 2 • 2 • 2 • 3 .   


  2)   в группах множителей ( 2 • 2 • 3 • 3 )  и  ( 2 • 2 • 2 • 3 ) , входящих в 
        разложение этих чисел, оставляем только совпадающие множители;   




                ( 2 • 2 • 3 )                                     и                                 ( 2 • 2 • 3 )    


  3)   найти произведение оставшихся множителей.      2 • 2 • 3 = 12   


      Наибольший общий делитель чисел   36 и 24   равен   12 .   



        Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел. 

      Например: у чисел   12 , 36 и 48   НОД   =   12 .   

Наименьшее общее кратное.



          Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют 
наименьшее натуральное число, которое кратно и a , и   b . 

         Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных 
чисел, например 6 и 8 ,   надо: 

    1) разложить их на простые множители; 

              6   =   2   •   3 ;

              8   =    2     •  2   •   2 ; 

            2 есть в разложении числа 6     ( вычеркиваем ее );

    2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 

                    2 • 3 ; 

    3) домножить их на недостающие множители из разложений 
          остальных чисел; 

                    2 • 3         •               2 • 2 ; 

    4) найти произведение получившихся множителей. 

                    2 • 3   •   2 • 2   =   24; 

          НОК ( 6 и 8 ) = 24 . 


         Найдем наименьшее общее кратное чисел 24   и   36: 

    1) разложим их на простые множители; 

              24   =   2   •   2   •   2   •   3 ;

              36   =   2   •   2   •   3   •   3 ; 

            2 , 2 и 3 есть в разложении числа 24     ( вычеркиваем их );

    2) выпишем множители, входящие в разложение числа 24 ; 

                    2 • 2 • 2 • 3 ; 

    3) домножим их на недостающий множитель из разложения числа 36 ; 

                  2 • 2 • 2 • 3             •             3 ; 

    4) найти произведение получившихся множителей. 

                    2 • 2 • 2 • 3 • 3   =   72; 

          НОК ( 24 и 36 ) = 72 . 


         Найдем наименьшее общее кратное чисел 30   и   42: 

    1) разложим их на простые множители; 

            30   =   2   •   3   •   5 ;

            42   =   2   •   3   •   7   ;

            2 и 3 есть в разложении числа 30     ( вычеркиваем их );

    2) выпишем множители, входящие в разложение числа 30 ; 

                    2 • 3 • 5 ; 

    3) домножим их на недостающий множитель из разложения числа 42 ; 

                  2 • 3 • 5             •             7 ; 

    4) найти произведение получившихся множителей. 

                    2 • 3 • 5 • 7   =   210; 

          НОК ( 30 и 42 ) = 210 . 


         Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные 
числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.   

                    Например:       у чисел   12 , 6 и 4     НОК = 12 .   

Проверь себя!!!                                               Контроль знаний

Используются технологии uCoz