Сложение и вычитание натуральных чисел

Сложение натуральных чисел

и его свойства.


Чтобы получить число, следующее за натуральным надо прибавить
к нему единицу.

Например:
3 + 1 = 4; 39 + 1 = 40.

Для того чтобы сложить числа 7 и 2 ,

нам надо прибавить к числу 7 два раза единицу.

Получим:
7 + 2 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9 .

Пишут короче:
7 + 2 = 9 .

Слагаемые — это числа, которые мы складываем,
а результат их сложения называется суммой.

Например: 4 + 2 = 6 .

4 и 2 — это слагаемые.

6 — это сумма.

При перестановке слагаемых сумма не меняется.

3 + 4 = 4 + 3 = 7 .

Это свойство сложения называют переместительным.

Сумма трех и более слагаемых не изменится от изменения порядка сложения чисел.

Например:
3 + ( 7 + 2 ) = ( 3 + 7 ) + 2 = 12.

значит: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c .

Поэтому вместо 3 + ( 7 + 2 ) пишут 3 + 7 + 2 и складывают числа
по порядку, слева на право.


Это свойство сложения называется сочетательным.


При прибавлении нуля к числу сумма равна самому числу.

3 + 0 = 3 .

Так же при прибавлении числа к нулю, сумма равна прибавляемому числу.

0 + 3 = 3 .

значит: a + 0 = a ; 0 + a = a .

Если точка C разделяет отрезок АВ, то сумма длин отрезков AC и CB
равна длине отрезка AB.

Пишут: AB = AC + CB.


отрезок AB разделенный точкой C сложение AC и CB

Если AC = 2 см а CB = 3 см , то AB = 2 + 3 = 5 см .

треугольник ABCПериметр многоугольника — это сумма длин его сторон.

Например: треугольник ABC .

Если AB = 5 см , AC = 4 см а CB = 3 см ,

то его периметр равен 12см так, как 3 + 4 + 5 = 12.

Вычитание натуральных чисел и его свойства.


Решим задачу.

В вазе лежало 15 мандаринов. Мы с друзьями съели 7 штук.
Сколько мандаринов осталось в вазе?

Понятно, что если к оставшемуся количеству ( х ) добавить 7 мандаринов,
их снова станет 15 .

х + 7 = 15 .

Значит нам известно одно слагаемое и сумма ,
а второе слагаемое надо найти.

Для этого в математике есть действие. Оно называется вычитание,

х = 15 – 7 = 8 ; так как 8 + 7 = 15 .

15 — уменьшаемое, 7 — вычитаемое, 8 — разность.

Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым,

а число, которое вычитают, вычитаемым.

Результат вычитания называют разностью.

Если мы используем натуральные числа, то уменьшаемое обязательно
должно быть больше вычитаемого.

9 – 4 = 5 ; 9 > 4 .


Разность двух чисел показывает, на сколько уменьшаемое
больше вычитаемого, или,
на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого.

9 больше 4 на 5 .
Рассмотрим пример:

243 – ( 143 + 39 ) = 243 – 182 = 61.

Но гораздо удобнее считать так:

243 – ( 143 + 39 ) = 243 – 143 – 39 = 100 – 39 = 61.


Значит: a – ( b + c ) = a – b – c .


В этом выражении мы вычитаем сумму из числа, можно сделать иначе,
сначала вычесть из уменьшаемого одно слагаемое, а потом
из полученной разности второе слагаемое.

Такое свойство называют свойством вычитания суммы из числа.


Рассмотрим еще пример:

371 – 55 – 45 = 316 – 45 = 271 .

Но удобнее найти сумму вычитаемых и вычесть ее из уменьшаемого:

371 – 55 – 45 = 371 – ( 55 + 45 ) = 371 – 100 = 271 .

Рассмотрим еще три примера с одинаковыми результатами.

( 5 + 4 ) – 3 = 9 – 3 = 6 ;

5 + ( 4 – 3 ) = 5 + 1 = 6 ;

( 5 – 3 ) + 4 = 2 + 4 = 6 .

значит: ( 5 + 4 ) – 3 = 5 + ( 4 – 3 ) = ( 5 – 3 ) + 4 .
или: ( a + b ) – c = a + ( b – c ) , если с < b
или: ( a + b ) – c = ( a – c ) + b , если с < a

При вычитании числа из суммы, можно вычесть его из любого слагаемого и к разности прибавить другое слагаемое.

Обязательно, вычитаемое должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равно ему.

Это — свойство вычитания числа из суммы.

Рассмотрим пример:

( 743 + 279 ) – 243 = 1022 – 243 = 779.

Но гораздо удобнее считать так:

( 743 + 279 ) – 243 = 743 – 243 + 279 = 500 + 279 = 779.
Так как 7 + 0 = 7 , то по смыслу вычитания имеем:

7 – 7 = 0 или 7 – 0 = 7 ;

a – a = 0 или a – 0 = a .

Если из числа вычесть нуль, оно не изменится.

Если из числа вычесть это число, получится нуль.


отрезок AB разделенный точкой C сложение AC и CB

Если точка C разделяет отрезок АВ , то разность длин отрезков AB и CB
равна длине отрезка AC .

Пишут: AB – CB = AC или AB – AC = CB .


Если AB = 5 см а CB = 3 см

то, AC = 5 – 3 = 2 см .

Уравнение.


Задача.

Два арбуза весят 14 кг, причем масса одного из них равна 8 кг.
Какова масса второго арбуза?

Решение:

Обозначим массу второго арбуза буквой х .
Так как масса двух арбузов равна 14 кг, получаем:

х + 8 = 14 .

Найдем такое значение x , при котором это равенство будет верно.
Нам надо найти слагаемое по сумме и второму слагаемому.

х = 14 – 8 ; х = 6 .


О т в е т: Масса второго арбуза равна 6 кг.

Если в равенство входит буква, то равенство называется уравнением.
Уравнение может быть верным при одних значениях этой буквы
и неверным при других ее значениях.

Например, уравнение x + 6 = 7

верно при x = 1

и неверно при x = 2 .

Значение буквы, при котором уравнение — верно,
называют корнем уравнения.

Например, корнем уравнения x + 2 = 5 является число 3 .

Решить уравнение — значит найти все его корни
(или убедиться, что оно не имеет решения).
Пример 1. Решим уравнение x + 28 = 42 .

Решение:

С помощью вычитания, найдем неизвестное слагаемое.

x = 42 – 28, то есть x = 14 .

Число 14 является корнем уравнения x + 28 = 42 , потому что

14 + 28 = 42 .

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть
известное слагаемое.
Пример 2. Решим уравнение y – 17 = 88 .

Решение:

y = 17 + 88 , то есть y = 105 .

Число 105 является корнем уравнения y – 17 = 88 ,

так как верно равенство 105 – 17 = 88 .

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить
вычитаемое и разность.
Пример 3. Решим уравнение 44 – z = 27 .

Решение:

z = 44 – 27 , то есть z = 17 .

Число 17 является корнем уравнения 44 – z = 27 ,

так как верно равенство 44 – 17 = 27 .

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого
вычесть разность.

Проверь себя!!!                                                    Контроль знаний

1. Как называется результат сложения двух чисел?
а) разность;
б) частное;
в) слагаемое;
г) сумма.
2.Определите какое из свойств сложения
сформулировано: « От изменения расстановки
скобок сумма не меняется».
а) переместительное;
б) сочетательное;
в) распределительное;
г) свойство нуля.
3. Выполните сложение 69 538 + 25 347.
а) 91 345;
б) 94885;
в) 93875;
г) 83 885.
4. Выполните вычитание 40002 – 8975
а) 30127;
б) 29027;
в) 31027;
г) 30037.
5. Каким из способов указанных ниже, удобнее
посчитать данный пример 1895 – ( 789 + 895)?
а) 1895 – 789 + 895;
б) 1895 + 895 – 789
в) 1895 – 895 – 789 ;
г) 1895 + 895 + 789.
6. Найдите разность двух чисел, зная, что
вычитаемое равно 569, а уменьшаемое 659.
а ) 80;
б) 70;
в) 90;
г) 100.
7. Выберите верное равенство.
а) (78 – 45) – (11 + 14) = 63;
б) (25+ 17) + (45-22)= 64;
в) (56+11) – ( 25 – 18) = 60;
г) ( 200 – 150) + ( 34 -23) = 62.
8. От рулона проволоки отрезали 38 м, после чего в нём осталось 18 м. Сколько метров проволоки было в мотке?
а) 20м;
б) 56м;
в) 46 м;
г) 19 м.
9. Вычислите сумму, выбирая удобный порядок
действий: 473 + 879 + 527.
а) 1769;
б)1789;
в) 1669;
г) 1879.
10. Одна сторона треугольника 26 см, вторая на 13 см меньше первой, а третья сторона на 21 см больше второй. Найдите периметр треугольника.
а) 73;
б) 84;
в) 60;
г) 86.
11. Из цифр 1 , 3 , 5 составляются всевозможные трёхзначные числа. Найдите разность самого большого и самого маленького из них.(В любом числе каждая цифра используется один раз).
а) 396 ;
б) 216;
в) 144;
г) 478.
12 Скорость катера по течению реки равна 25 км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч. Найдите скорость катера против течения.
а) 17 км/ч;
б) 21км/ч;
в)29 км/ч;
г) 33 км/ч

Чтобы просматривать и оставлять комментарии к этой странице, необходимо подключение к сети Интернет.
Используются технологии uCoz